\(\int_1^2 (2x^3 + 3ax^2 + bx)dx = \left[ \frac{1}{2}x^4 + ax^3 + \frac{1}{2}bx^2 \right]_1^2 = \frac{15}{2} + 7a + \frac{3}{2}b\)이다.

\(20 \le \frac{15}{2} + 7a + \frac{3}{2}b \le 30 \iff 13 \le 7a + \frac{3b+15}{2} \le 23\)을 만족하는 \(5\) 이하의 자연수 순서쌍을 구한다.

\(a=1\)일 때: \(13 \le \frac{3b+15}{2} \le 23 \implies b \in \{4, 5\}\) (2개)

\(a=2\)일 때: \(6 \le \frac{3b+15}{2} \le 16 \implies b \in \{1, 2, 3, 4, 5\}\) (5개)

\(a=3\)일 때: \(-1 \le \frac{3b+15}{2} \le 9 \implies b \in \{1\}\) (1개)

\(a \ge 4\)일 때는 부등식을 만족하지 않는다. 따라서 순서쌍의 개수는 \(2 + 5 + 1 = \mathbf{8}\)개이다.

도로망을 좌표평면에 놓자. 지점 \(A(0, 0)\), \(B(n, n)\)이다. 방향이 바뀌는 지점이 정확히 \(4\)번일 때, 오른쪽으로 먼저 시작하는 경우 오른쪽에서 위쪽으로 \(2\)번, 위에서 오른쪽으로 \(2\)번 바뀌며, 위쪽으로 먼저 시작하는 경우도 대칭으로 같다.

경우의 수: \(f(n) = 2 \times ({}_{n-1}\mathrm{C}_2 \times {}_{n-1}\mathrm{C}_1) = (n-1)^2(n-2)\)이다.

따라서 \(f(6) = 5^2 \times 4 = \mathbf{100}\)이다.

방향이 \(7\)번 바뀌는 경우: 한쪽 방향으로 \(4\)번, 다른 방향으로 \(3\)번 바뀌므로

\(g(n) = 2 \times ({}_{n-1}\mathrm{C}_3 \times {}_{n-1}\mathrm{C}_4) = \frac{(n-1)^2(n-2)^2(n-3)^2(n-4)}{72}\)이다.

\(g(32) = 74498\)이며, 계산하면 \(f(6) = 100\), \(\sqrt{2 \times g(32)} = 386\)이다.

\(x \le 1\)에서 \(f(x) = |g(x)|\)이고 \(f(0)=f(1)=0\)이며 실수 전체에서 미분가능하므로, \(g(0)=0\), \(g(1)=g'(1)=0\)이다. 최고차항 계수가 \(1\)이므로 \(g(x) = x(x-1)^2(x-k)\)이다.

\(x \le 1\)에서 극댓값을 갖지 않으려면 \(k \ge 1\)이어야 하며, 매끄러운 연결을 만족하기 위해 \(k=1\)일 때 \(g(x) = x(x-1)^3\)이다.

\(x \ge 1\)에서도 \(f(x)\)는 극댓값을 갖지 않고 \(f(3)=f(a_4)=f(a_5)=0\)을 만족해야 하므로 삼차 이상의 다항식 조각들로 구성되며,

구간별 함수를 대칭 및 미분가능성 조건을 적용하여 정적분하면:

답: \(\frac{1261}{432}\)

\(\sin\theta = \frac{n}{n+1}\tan\theta \implies \cos\theta = \frac{n}{n+1}\)이다. 교점 \(P_n(\theta, \sin\theta)\)에서의 두 접선 \(l_1, l_2\)의 방정식으로부터 \(x\)절편을 구하면 각각 \(\theta - \tan\theta\), \(\theta - \sin\theta\cos\theta\)이다.

두 직선과 \(x\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이 \(S_n\)은

따라서 \(\lim_{n \to \infty} n^2 S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2(2n+1)^2}{2n(n+1)^3} = \frac{4}{2} = \mathbf{2}\)이다.

포물선 \(y^2 = 4px\) 위의 점 \(P(x_1, y_1)\)에서의 접선은 \(y_1 y = 2p(x + x_1)\)이다. 직선 \(x = -p\)와의 교점은 \(Q\left(-p, \frac{2p(x_1-p)}{y_1}\right)\)이다.

\(P'\)의 좌표는 \(\left(\frac{(x_1-p)^2}{4x_1}, \frac{2p(x_1-p)}{y_1}\right)\)이다. 벡터 \(\vec{FP}, \vec{FP'}\)의 내적과 포물선의 정의에 의한 거리를 이용하면

이를 풀면 \(5x_1 - 5p = x_1 + p \implies 4x_1 = 6p \implies \mathbf{x_1 = \frac{3p}{2}}\)이다.

직선 \(CP\)와 \(DQ\)가 한 점 \(R\)에서 만나므로 네 점 \(C, D, P, Q\)는 한 평면 위에 있다. 평행한 두 평면 \(ABCD\)와 \(EFGH\)에 포함되므로 직선 \(CD\)와 \(PQ\)는 평행하다. 따라서 \(\triangle RCD \sim \triangle RPQ\)이다.

\(\overline{DR} : \overline{RQ} = 4 : 3\)이므로 \(\overline{PQ} = \frac{3}{4}\overline{CD} = \frac{3}{4} \times 4 = 3\)이다.

좌표계를 설정하여 점들의 좌표를 구하면 \(C(0, 4, 4), D(0, 0, 4)\), \(P(3, 3, 0), Q(3, 0, 0)\), \(A(4, 0, 4)\)이다.

평면 \(APC\)의 법선벡터를 \(\vec{n} = (a, b, c)\)라 하면 \(\vec{AC} = (-4, 4, 0)\), \(\vec{AP} = (-1, 3, -4)\)와 수직이므로

\(-4a + 4b = 0 \implies a = b\), \(-a + 3a - 4c = 0 \implies c = \frac{1}{2}a\). 법선벡터는 \((2, 2, 1)\)로 둘 수 있다.

평면 \(EFGH\)의 법선벡터는 \((0, 0, 1)\)이므로 두 평면이 이루는 예각 \(\theta\)에 대하여

답: \(\frac{1}{3}\)